# Error

### Type of Errors

* single bit error: 주변 bit에 에러가 나타나지 않고 고립됨
* burst error: 처음과 끝이 에러이며 B의 길이를 가짐

### Probability

* $$P\_b$$: 한 bit에 에러가 발생할 확률
* $$P\_1=(1-P\_b)^5$$: 한 frame에 bit 에러가 발생하지 않을 확률
  * e.g. $${5 \choose 1}P^1\_b(1-P\_b)^4$$: 1frame 중 1bit가 에러일 확률, $$1frame=5bit$$
* $$P\_2$$: 에러 감지 알고리즘이 사용되었지마 한 frame에 감지되지 않은 에러가 한개 이상 발생할 확률
* $$P\_3$$: 에러 감지 알고리즘을 사용해 모든 에러를 감지할 확률

### Error Detection

#### 1. Parity Check

* even parity: 1의 개수를 짝수로 맞춰 기존 정보와 동일한지 확인
* odd parity: 1의 개수를 홀수로 맞춰 기존 정보와 동일한지 확인

#### 2. Checksum

* one-compliment operation: 0을 1로, 1을 0으로 대체
* one-compliment addition: 두 숫자를 부호없는 이진수로 가정하고 더하는데, 가장 왼쪽 bit에 carry가 발생하면 더한 값에 1을 더함
* e.g. 0001 F203 F4F5 F6F7
  * 0001+F203 = F204, F204+F4F5=E6FA, E6FA+F6F7=DDF2, 15에서 각 값을 뺌=220D
  * 송신측은 0001 F203 F4F5 F6F7 220D를 수신측에 보냄
  * 수신측에서는 에러가 없는지 확인하기 위해 0001+F203+F4F5+F6F7+220D=FFFF인지 확인(아니면 에러)

#### 3. CRC(Cyclic Redundancy Check)

* 가장 흔히 사용되는 강력한 에러 감지 기법
* 송신측에서 데이터를 $$X^n$$으로 바꾸고 송신자와 수신자간 정해놓은 $$P(X)$$로 나눔
* 이때 몫 $$Q(X)$$과 나머지 $$R(X)$$가 생기는데, 수신측에 원래 데이터와 $$R(X)$$를 딸려 보냄
* 수신측에서는 받은 데이터를 $$P(X)$$로 나눠 나머지가 없는지 확인(나머지가 있으면 에러)
* $$R(X)$$는 $$P(X)$$의 bit 수로 유효숫자를 맞춤
* e.g. data=1101011011, $$P(X)$$=1101
  * 1101011011->$$X^9+X^8+X^6+X^4+X^3+X^1+1$$
  * 1101->$$X^3+X^2+1$$
  * $$(X^9+X^8+X^6+X^4+X^3+X^1+1 )/( X^3+X^2+1)$$->$$Q(X)=X^6+X, R(X)=1$$
  * $$R(X)=1$$->$$R(X)=001$$
  * 송신측은 1101011011001을 수신측에 보냄

### Error Correction

#### 1. Forward Error Correction

* 송신측이 전송할 프레임에 부가적인 정보를 첨가해 전송하고, 수신측은 이 정보를 이용해 에러를 찾고 정정하는 방식
* 오류가 발생해도 재전송 없이 오류 수정 가능
* 송신측이 한 곳이고 수신측이 여러 곳인 재전송이 어려운 곳에서 사용&#x20;

#### 2. Backward Error Correction

* 수신측이 에러 발생 데이터에 대한 재전송을 송신측에 요구

#### 3. Block Code Principles

* hamming distance: $$d(v\_1, v\_2)$$ , 이진수로 된 $$v\_1, v\_2$$ sequence에서 동일하지 않은 bit의 개수
  * e.g. $$v\_1=1101, v\_2=1001 \rightarrow d(v\_1, v\_2)=1$$
* redundancy of code: 얼마만큼의 redundant bit가 추가되었는지에 대한 비율
  * e.g. $$k=1, n=3 \rightarrow R=\frac{n-k}{k}=\frac{3-1}{1}=2, 2=2^1=1 bit$$, 1bit 에러 정정 가능
* code rate: 전체 bit 중 데이터 bit의 비율, code가 없는 경우 동일한 데이터 전송률로 전송하는데 필요한 추가 대역폭 양을 측정&#x20;
